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Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

• Mathematische Formulierung

• Anwendungen in der Physik

• Elektrostatik

• Elektrodynamik stationärer Ströme

• Gravitation

• Literatur

• Einzelnachweise

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

− − Δ Δ u = f {\displaystyle -\Delta u=f}

Dabei bezeichnet

• Δ Δ {\displaystyle \Delta } den Laplace-Operator

• u {\displaystyle u} die gesuchte Lösung

• f {\displaystyle f} eine Funktion. Ist f ≡ ≡ 0 {\displaystyle f\equiv 0} , so wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:

{ − − Δ Δ u = f in Ω Ω u = g auf ∂ ∂ Ω Ω {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u&=f&{\text{in}}&\Omega \\\quad u&=g&{\text{auf}}&\partial \Omega \end{cases}}}

mit Ω Ω ⊂ ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung Φ Φ {\displaystyle \Phi } der Laplace-Gleichung:

Φ Φ ( x ) := { − − 1 2 π π ln ⁡ ⁡ | x | n = 2 1 ( n − − 2 ) ω ω n ⋅ ⋅ 1 | x | n − − 2 n ≥ ≥ 3 {\displaystyle \Phi (x):={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{(n-2)\omega _{n}}}\cdot {\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}

Dabei bezeichnet ω ω n = 2 π π n 2 Γ Γ ( n 2 ) {\displaystyle \omega _{n}={\tfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}} den Flächeninhalt der Einheitssphäre im n {\displaystyle n} -dimensionalen euklidischen Raum.

Durch die Faltung ( Φ Φ ∗ ∗ f ) {\displaystyle (\Phi *f)} erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die greensche Funktion verwenden

G ( x , y ) := Φ Φ ( y − − x ) − − ϕ ϕ x ( y ) {\displaystyle G(x,y):=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}

ϕ ϕ x {\displaystyle \phi ^{x}} ist dabei eine Korrekturfunktion, die

{ Δ Δ ϕ ϕ x = 0 in Ω Ω ϕ ϕ x = Φ Φ ( y − − x ) auf ∂ ∂ Ω Ω {\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von Ω Ω {\displaystyle \Omega } abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man G ( x , y ) {\displaystyle G(x,y)} , so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

u ( x ) = − − ∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω g ( y ) ∂ ∂ G ( x , y ) ∂ ∂ n d σ σ ( y ) + ∫ ∫ Ω Ω f ( y ) G ( x , y ) d y {\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial n}}\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}

wobei σ σ {\displaystyle \sigma } das Oberflächenmaß auf ∂ ∂ Ω Ω {\displaystyle \partial \Omega } bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perron-Verfahrens oder mittels Variationsrechnung finden.

Der Poisson-Gleichung Δ Δ Φ Φ ( r ) = f ( r ) {\displaystyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} )} genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen Φ Φ {\displaystyle \Phi } . Dabei ist die Funktion f {\displaystyle f} proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte ρ ρ ( r ) . {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ).}

Ist f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )} überall bekannt, so ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integralcite-ref-1[1]

Φ Φ ( r ) = − − 1 4 π π ∫ ∫ d 3 r ′ f ( r ′ ) | r − − r ′ | {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}r'\,{\frac {f(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}} .

In Worten: jede Ladung d 3 r ′ f ( r ′ ) {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')} am Ort r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} im kleinen Gebiet der Größe d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'} trägt additiv bei zum Potential Φ Φ {\displaystyle \Phi } am Ort r {\displaystyle \mathbf {r} } mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

− − d 3 r ′ f ( r ′ ) 4 π π | r − − r ′ | {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')}{4\,\pi \,|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten ∇ ∇ → → Φ Φ {\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi } eines Potentials Φ Φ ( r ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )} ausgedrückt werden:

E ( r ) = − − ∇ ∇ → → Φ Φ ( r ) . {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-{\vec {\nabla }}\Phi (\mathbf {r} ).}

Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich

∇ ∇ → → ⋅ ⋅ E ( r ) = − − Δ Δ Φ Φ ( r ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\Delta \Phi (\mathbf {r} )}

mit dem Laplace-Operator Δ Δ {\displaystyle \Delta } .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

∇ ∇ → → ⋅ ⋅ E ( r ) = ρ ρ ( r ) ε ε {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}

mit

• der Ladungsdichte ρ ρ ( r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}

• der Permittivität ε ε = ε ε r ⋅ ⋅ ε ε 0 {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\cdot \varepsilon _{0}} .

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

Δ Δ Φ Φ ( r ) = − − ρ ρ ( r ) ε ε {\displaystyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}

Der Spezialfall ρ ρ ( r ) = 0 {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=0} für jeden Ort im betrachteten Gebiet wird als Laplace-Gleichung der Elektrostatik bezeichnet.

Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte j ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {j} (x,y)} im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte J z ( x , y , z = 0 ) {\displaystyle J_{z}(x,y,z=0)} der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form

∇ ∇ → → 2 ⋅ ⋅ j ( x , y ) = − − J z ( x , y , z = 0 ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}_{2}\cdot \mathbf {j} (x,y)=-J_{z}(x,y,z=0)}

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator ∇ ∇ → → 2 {\displaystyle {\vec {\nabla }}_{2}} ). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: j ( x , y ) = R ◻ ◻ − − 1 E ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {j} (x,y)=R_{\Box }^{-1}\mathbf {E} (x,y)} ; hier ist R ◻ ◻ {\displaystyle R_{\Box }} der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, E ( x , y ) = − − ∇ ∇ → → 2 Φ Φ ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {E} (x,y)=-{\vec {\nabla }}_{2}\Phi (x,y)} , so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form

Δ Δ 2 Φ Φ ( x , y ) = R ◻ ◻ J z ( x , y , z = 0 ) . {\displaystyle \Delta _{2}\Phi (x,y)=R_{\Box }J_{z}(x,y,z=0).}

Ebenso wie das elektrostatische Feld

E ( r ) = 1 4 π π ε ε ∫ ∫ ρ ρ e l ( r ′ ) r − − r ′ | r − − r ′ | 3 d x ′ d y ′ d z ′ = − − ∇ ∇ → → Φ Φ e l ( r ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int \rho _{\mathrm {el} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-{\vec {\nabla }}\Phi _{\mathrm {el} }(\mathbf {r} )} ,

ist auch das Gravitationsfeld g ein konservatives Feld:

g ( r ) = − − G ∫ ∫ ρ ρ m ( r ′ ) r − − r ′ | r − − r ′ | 3 d x ′ d y ′ d z ′ = − − ∇ ∇ → → Φ Φ m ( r ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho _{\mathrm {m} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-{\vec {\nabla }}\Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )} .

Dabei ist

• G die Gravitationskonstante

• ρ ρ m ( r ′ ) {\displaystyle \rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ')} die Massendichte.

Da nur die Ladungen durch Massen und 1 4 π π ε ε {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}} durch − − G {\displaystyle -G} ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung

∇ ∇ → → ⋅ ⋅ g = − − 4 π π G ρ ρ m ( r ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )} .

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

∇ ∇ → → ⋅ ⋅ g = − − ∇ ∇ → → ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ → → Φ Φ m ( r ) ) = − − 4 π π G ρ ρ m ( r ) ⇔ ⇔ {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {g} =-{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ))=-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )\Leftrightarrow }

Δ Δ Φ Φ m ( r ) = 4 π π G ρ ρ m ( r ) {\displaystyle \Delta \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )=4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )} .

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 1. Springer, Berlin u. a. 1924 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 12). 4. Auflage, ebenda 1993, ISBN 3-540-56796-8.

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (= Graduate studies in mathematics 19).

cite-note-11. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs theoretische Physik. [Online-ausg. der] 8. [gedr.] Auflage. 3. Elektrodynamik. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-71252-7.